2 ( El dominio, por tanto, contiene miles de puntos, por lo que podemos considerar todos los puntos dentro del disco. y El paso 2 consiste en calcular las segundas derivadas parciales de g:g: Utilice la segunda derivada para hallar los extremos locales de la funcin. 9 , y 2 x FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES [5.1] Hallar y representar grficamente las curvas de nivel de la funcin . 2, f 2, g ,n. Los puntos solucin de este sistema de necuaciones con n incgnitas se denominan puntos crticos. La Figura 4.10 muestra un mapa de lnea de contorno para f(x,y)f(x,y) utilizando los valores c=0,1,2 ,y3.c=0,1,2 ,y3. by J. Llopis is licensed under a f y y 2 y x + , Esta ecuacin describe un hiperboloide de una hoja como se muestra en la siguiente figura. = y x 3 = 0/2100 puntos de dominio. En los siguientes ejercicios, halle el dominio de la funcin. 6 36 = , ( 2 3 ) x , + 2022 OpenStax. ( Plano tangente 04-3. endobj f , Halle el dominio de las siguientes funciones. y x z y 2 2 1 y y = f 4 x 1 ( Mtodo de Resolucin Nos basaremos, bsicamente, en dos teoremas: Puntos crticos: segn teorema, x + , y El mtodo para hallar el dominio de una funcin de ms de dos variables es anlogo al mtodo para funciones de una o dos variables. 2 2 Entonces f tiene un mximo local en (x0,y0)(x0,y0) si. 20 0 obj Halle el volumen mximo de una lata de refresco cilndrica tal que la suma de su altura y su circunferencia sea 120120 cm. x Puesto que la funcin se anula en el origen, estudiamos el signo de la Supongamos que z=f(x,y)z=f(x,y) es una funcin de dos variables definida y continua en un conjunto abierto que contenga el punto (x0,y0).(x0,y0). 9 g 3 = 2 + y f Cuando se trabaja con una funcin de dos o ms variables, se trabaja con un disco abierto alrededor del punto. + + x , x x , x Las tres trazas en el plano xz xz son funciones de coseno; las tres trazas en el plano yz yz son funciones de seno. x , y z x 2 y ) c + g(x,y)=exy(x2 +y2 ),P(1,0)g(x,y)=exy(x2 +y2 ),P(1,0) grandes. 16 3 3 Creative 3 x + 10 = 2 f , ( 5 2, f calor y en consecuencia el coste de calefaccin. + x Por lo tanto, es tanto un mximo global para una traza como un mnimo global para otra. = x y , + y 9 x De forma similar, podemos sustituir los valores de y y en la ecuacin f(x,y)f(x,y) para obtener las trazas en el plano yz,yz, como se indica en la siguiente tabla. ; + x x ) Entonces, la Ecuacin 4.1 se convierte en. Supongamos que z=f(x,y)z=f(x,y) es una funcin de dos variables definida y continua en un conjunto abierto que contenga el punto (x0,y0).(x0,y0). = Por lo tanto, el rango de f(x,y)f(x,y) es {z|z16}.{z|z16}. ) y puntos 2 2 2 Por lo tanto, la existencia de un valor crtico en x=x0x=x0 no garantiza un extremo local en x=x0.x=x0. , 4 A menudo, la prueba de la segunda derivada puede determinar si una funcin de dos variables tiene un mnimo local (a), un mximo local (b) o un punto de silla (c). y + , ) 4 Evale V(2 ,5)V(2 ,5) y explique lo que significa. = 2 , + 3, f , /Width 1091 Supongamos que z=f(x,y)z=f(x,y) es una funcin continua de dos variables definida en un conjunto cerrado y delimitado D,D, y asumamos que ff es diferenciable en D.D. y ( x Un mximo ( mnimo) y 1 ) , x 3 >> JFIF XX C , FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES Escuela Universitaria de Ingeniera Tcnica Industrial Bilbao 1. , 2 2, f 2 %PDF-1.5 y 2 y :74k!a{%k5j y 3 + = 1 0 Los dems valores de zz aparecen en la siguiente tabla. Exprese TT en funcin de xyy.xyy. y ( ( z La funcin podra asignar un punto del plano a una tercera cantidad (por ejemplo, la presin) en un tiempo determinado t.t. x Supongamos que z=f(x,y)z=f(x,y) es una funcin de dos variables para la que las derivadas parciales de primer y segundo orden son continuas en algn disco que contenga el punto (x0,y0).(x0,y0). IMPORTANTE Aqu resolver muy diversos ejercicios de mximos y mnimos (optimizacin) de funciones de varias variables (mximo y mnimo de superficies). 2 = y = , 2 << /S /GoTo /D (subsection.5.1) >> = ; y ) y , ) y x Se dice que es un mximo local de si existe un entorno reducido de centro , en smbolos (), donde para todo elemento de se cumple () ().Para que esta propiedad posea sentido estricto debe cumplirse () < ().. Anlogamente se dice que el punto es un mnimo local de si existe . y , 1 +#Q_A~ n*TU^ = 5 0 obj x Cree un grfico de cada una de las siguientes funciones: Una funcin de ganancias para un fabricante de herramientas viene dada por. 9, g y y z x y Una empresa de transporte maneja cajas rectangulares siempre que la suma de la longitud, la anchura y la altura de la caja no supere 9696 pulgadas Halle las dimensiones de la caja que cumple esta condicin y tiene el mayor volumen. 2. ( y Recomendamos utilizar una x Derivadas parciales de funciones con valores vectoriales Derivar funciones . 2 Clculo de Extremos de Funciones de Varias Variables - MATESFACIL = 2 x y y 300 y En los siguientes ejercicios, determine los valores extremos y los puntos de equilibrio. ( , e Halle el dominio de cada una de las siguientes funciones: Calcule el dominio de la funcin h(x,y,t)=(3t6)y4x2 +4.h(x,y,t)=(3t6)y4x2 +4. y ) = x ( f 0 endobj = = 2 + = y y 2 Ejercicios Resueltos de Extremos de Funciones en Varias Variables (1) Extremos de funciones 1. x 4.3 Derivadas parciales - Clculo volumen 3 | OpenStax 1999-2023, Rice University. PDF Problemas resueltos de c alculo en varias variables reales 2 En los siguientes ejercicios, halle todos los puntos crticos. + Trazar varias trazas o curvas de nivel de una funcin de dos variables. 2 = = = ( Un tanque de oxgeno est construido con un cilindro recto de altura yy, y el radio xx con dos hemisferios de radio xx montado en la parte superior e inferior del cilindro. 1 Definicin de extremo. ( Supongamos que z=f(x,y)z=f(x,y) es una funcin de dos variables definida en un conjunto abierto que contiene el punto (x0,y0).(x0,y0). + Este no es el caso porque el rango de la funcin de raz cuadrada es no negativo. ( cos x 2 + Halle las dimensiones de la caja que requiere la menor cantidad de cartn. x /Filter /FlateDecode La compaa Pro-TT ha desarrollado un modelo de ganancias que depende del nmero x de pelotas de golf vendidas al mes (medido en miles) y del nmero de horas al mes de publicidad y, segn la funcin. 2 2 , x ( + ) Examinar los puntos crticos y los puntos lmite para calcular los valores mximos y mnimos absolutos de una funcin de dos variables. Halle los valores mximos y mnimos absolutos de f(x,y)=x2 +y2 2 y+1f(x,y)=x2 +y2 2 y+1 en la regin R={(x,y)|x2 +y2 4}.R={(x,y)|x2 +y2 4}. Este paso incluye identificar el dominio y el rango de dichas funciones y aprender a graficarlas. y 4.12 Valores Extremos De Funciones De Varias Variables ) , = 2 La palabra funcinse usa con frecuencia para indicar una relacin o dependencia de una cantidad respecto de otra, estudia los siguientes ejemplos: a) El rea de un crculo es una funcin de su radio. x = + , Funciones de varias variables. x y ( x Un paraboloide es el grfico de la funcin dada de dos variables. % Definamos la cantidad. y y ( 12 0 obj Halle los puntos de la superficie x2 yz=5x2 yz=5 que estn ms cerca del origen. y. f(x,y)=e(x2 +y2 +2 x)f(x,y)=e(x2 +y2 +2 x) grandes. 3 3 + ( c ( , Por lo tanto (21,3)(21,3) es un punto crtico de f.f. ( 2. 2, g 3 , 08. Ejercicios de Mximos y mnimos de funciones de varias variables Verifique sus resultados utilizando la prueba de las derivadas parciales. %PDF-1.5 f y ( ; ; , Solucin: a) haz de circunferencias que pasan por el origen de coordenadas (sin incluir ste) y que tienen elcentro (1=lnk;0)sobre el ejeOXy radio 1=lnk, ms la rectax= 0. b) familia de hiprbolas equilterassituadas en los cuatro cuadrantes, ms los ejes de coordenadas. x y ( , z f 2 1wpA4"3[L w8|ACKQA Eo,z[c?j9,;BD"s)mk7+lq)MQ=FV;?L|Txq3FmpC~78;MW?2jECC4mWC\V{AqxAXda_Mu^DliPQ%]L,(c<3Q r# Un punto de silla es un punto donde el gradiente de la funcin es nulo. y x x + 2 $4%&'()*56789:CDEFGHIJSTUVWXYZcdefghijstuvwxyz ? 6 y ) , x (Federico Arnau Moya), Derecho Penal Parte Especial 21 Edicin 2017 (Muoz Conde), Teora Del Conocimiento (Snchez MecaDiego), Ejes De La Literatura Inglesa Medieval Y Renacentista (Cerezo Marta; De La Concha ngeles), Fundamentos De Psicobiologa (Abril Alonso Agueda Del; Ambrosio Flores Emilio; Blas Calleja M Rosario De; Caminero Gmez ngel A.; Garca Lecumberri Carmen; Pablo Gonzlez Juan Manuel De), O Contrato Social (Jean-Jacques Rousseau), Ciencias De La Tierra (Tarbuck Edwar J.; Lutgens Frederick K.), Historia De La Filosofa I (Guillermo Fraile), Derecho Mercantil (Roberto l. Mantilla Caballero y Jos Maria Abascal Zamora), La Edad Media: Siglos XIII-Xv (Donado Vara J.; Barquero Goi C.; Echevarra Arsuaga A. V herramienta de citas como, Autores: Gilbert Strang, Edwin Jed Herman. = (crditos: modificacin del trabajo de oatsy40, Flickr). ( 1999-2023, Rice University. z = Dada una funcin f(x,y,z)f(x,y,z) y un nmero cc en el rango de f,f, una superficie de nivel de una funcin de tres variables se define como el conjunto de puntos que satisfacen la ecuacin f(x,y,z)=c.f(x,y,z)=c. , En esta seccin estudiaremos analticamente la existencia de extremos f ( 2 + ( 2 ( 2 = 0 Extremos relativos o locales. 2 El grfico de esta elipse aparece en el siguiente grfico. f y y c 4 z y x b) El volumen de una caja cbica es una funcin de la longitud de uno de sus lados. ( 2 x y /Resources 36 0 R Entonces ff alcanzar el valor mximo absoluto y el valor mnimo absoluto, que son, respectivamente, los valores ms grandes y ms pequeos encontrados entre los siguientes: La demostracin de este teorema es una consecuencia directa del teorema del valor extremo y del teorema de Fermat. = e5`&9L% 5M0$| mf7=4o4MO sb-+QR I^#[ ;6prTo`#"R_d@&k]M}qz||1dO-;osJ9>1,M8t\/-8gxx1}XgjV O!PkA 4 + x 3 c Exprese el volumen del tanque como una funcin de dos variables, xyy,xyy, halle V(10,2 ),V(10,2 ), y explique lo que significa. y PDF PROBLEMAS RESUELTOS 1 (continuidad, derivabilidad y diferenciabilidad pGgYiBJo^1x8"+OI,;. f (, )xy xy 2. x y = y y = f 2 Con todo ello, concluimos que el origen es un punto de silla. Si el borde es un rectngulo o un conjunto de lneas rectas, entonces es posible parametrizar los segmentos de lnea y determinar los mximos en cada uno de estos segmentos, como se ve en el Ejemplo 4.40. x PDF Ejercicios Tema 4 Funciones De Varias Variables x x ) Es decir, si es un x ) x = + , [?0M,V[FNU8-+#w_#*g?wF! 2 Primero establezca x=4x=4 en la ecuacin z=senxcosy:z=senxcosy: Esto describe un grfico del coseno en el plano x=4.x=4. Diferencial de una funcin de dos variables - Diferenciales sucesivos 04-2. /MediaBox [0 0 595.276 841.89] + + z 1 y + 2 En los siguientes ejercicios, halle los puntos crticos de la funcin utilizando tcnicas algebraicas (completando el cuadrado) o examinando la forma de la ecuacin. 4 g(x,y)=y2 arctanx,P(1,2 )g(x,y)=y2 arctanx,P(1,2 ) grandes. Como fx(x;y) =2x ; 33(x2+y2)2fy(x;y) =2y ; 3 3(x2+y2)2 vemos que ambas derivadas parciales estn denidas en todoR2, excepto en(0;0). y ) El nombre de OpenStax, el logotipo de OpenStax, las portadas de libros de OpenStax, el nombre de OpenStax CNX y el logotipo de OpenStax CNX no estn sujetos a la licencia de Creative Commons y no se pueden reproducir sin el previo y expreso consentimiento por escrito de Rice University.